高一年级数学下册《三角函数的简单应用》PPT教学课件

三角函数模型的简单应用第一章三角函数栏目导航自主预习学案互动探究学案课时作业学案010203自主预习学案第一章三角函数1大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识．(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．(2)三角函数作为描述现实世界中____________的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用搜集的数据，作出__________，通过观察散点图进行____________而得到函数模型．最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．周期现象散点图函数拟合第一章三角函数[知识点拨]三角函数模型应用注意点(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．√1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型．()(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决．()(3)若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y＝3sin(4x＋π6)，则其往复振动一次所需时间为12秒．()(4)若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，则电流的最大值为4A．()××√1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型．()(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决．()(3)若一个简谐振动的振动量的函数解析式是y＝3sin(4x＋π6)，则其往复振动一次所需时间为12秒．()(4)若电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，则电流的最大值为4A．()第一章三角函数D2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin(2πt＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s[解析]本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．即ω＝2π，所以T＝2πω＝1.2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin(2πt＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s[解析]本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式，单摆来回摆一次所需的时间即为此函数的一个周期．即ω＝2π，所以T＝2πω＝1.第一章三角函数3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是__________.150s150s互动探究学案第一章三角函数2已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；命题方向1　三角函数模型在物理中的应用⇨典例1(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)中t在任意一段1100秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？第一章三角函数[思路分析]　对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．第一章三角函数[解析](1)由题图知，A＝300.T＝160－(－1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.∵(－1300，0)是该函数图象的第一个零点，∴－φω＝－1300.∴φ＝ω300＝π3.符合|φ|<π2，∴I＝300sin(100πt＋π3)(t≥0)．(2)问题等价于T≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.[解析](1)由题图知，A＝300.T＝160－(－1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.∵(－1300，0)是该函数图象的第一个零点，∴－φω＝－1300.∴φ＝ω300＝π3.符合|φ|<π2，∴I＝300sin(100πt＋π3)(t≥0)．(2)问题等价于T≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π.∴正整数ω的最小值为629.第一章三角函数『规律总结』　解决函数图象与解析式对应问题的策略利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.第一章三角函数〔跟踪练习1〕本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？[解析]由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋π3)(t≥0)，将t＝10秒代入可得，I＝1503安培．[解析]由例1(1)可得I＝300sin(100πt＋π3)(t≥0)，将t＝10秒代入可得，I＝1503安培．第一章三角函数命题方向2　三角函数模型在生活中的应用⇨典例2如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点B开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5A如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点B开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝5第一章三角函数『规律总结』　1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[解析]由1min旋转4圈，则转1圈的时间为T＝14min＝14×60＝15(s)，则ω＝2πT＝2π15.又由图可知，A＝3.[解析]由1min旋转4圈，则转1圈的时间为T＝14min＝14×60＝15(s)，则ω＝2πT＝2π15.又由图可知，A＝3.第一章三角函数〔跟踪练习2〕如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()C〔跟踪练习2〕如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()第一章三角函数[解析]∵P0(2，2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4.此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∵d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B．[解析]∵P0(2，2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4.此时P点纵坐标为2sin(t－π4)，∵d＝2|sin(t－π4)|.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B．利用数据作出散点图，对图象形状进行判断，构建函数模型求其中的参数．数据拟合三角函数问题典例3已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5第一章三角函数经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午800﹕时至晚上2000﹕时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[思路分析]　本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．第一章三角函数[解析](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝2πT＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.[解析](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝2πT＝π6.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.第一章三角函数(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1>1，∴cosπ6t>0，∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，即12k－31时才对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋1>1，∴cosπ6t>0，∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2，即12k－30，ω>0)来表示运动的位置y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝1T＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．[误区警示]在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)来表示运动的位置y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T＝2πω称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝1T＝ω2π称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．第一章三角函数〔跟踪练习4〕交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin(100πt＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．〔跟踪练习4〕交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝2203sin(100πt＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．第一章三角函数[解析](1)当t＝0时，E＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏，当100πt＋π6＝π2，即t＝1300秒时第一次取得最大值．[解析](1)当t＝0时，E＝1103(伏)，即开始时的电压为1103伏．(2)T＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏，当100πt＋π6＝π2，即t＝1300秒时第一次取得最大值．1．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是(　　)A．60　　B．70　　C．80　　D．90C[解析]由题意可得函数的周期T＝2π160π＝180，所以函数的频率即每分钟心跳次数为f＝1T＝1180＝80.[解析]由题意可得函数的周期T＝2π160π＝180，所以函数的频率即每分钟心跳次数为f＝1T＝1180＝80.第一章三角函数2．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C．2D．2C2．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C．2D．2第一章三角函数[解析]因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin12ωx，且g(x)最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，所以A＝2.所以f(x)＝2sin2x，所以f3π8＝2.故选C．[解析]因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g(x)＝Asin12ωx，且g(x)最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，所以gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，所以A＝2.所以f(x)＝2sin2x，所以f3π8＝2.故选C．第一章三角函数A3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sin(π4x－π4)(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin(π4x＋π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sin(π4x－π4)(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝22sinπ4x＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin(π4x＋π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)第一章三角函数[解析]由题意可知，x＝3时，函数最大值为9；当x＝7时，函数最小值为5.所以A＋B＝9－A＋B＝5，∴A＝2，B＝7.函数的周期T＝2(7－3)＝8，由T＝2πω，得ω＝2πT＝π4.∵x＝3时，函数有最大值．∴3ω＋φ＝π2＋2kπ，∴φ＝－π4＋2kπ.综上，f(x)的解析式为f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)．[解析]由题意可知，x＝3时，函数最大值为9；当x＝7时，函数最小值为5.所以A＋B＝9－A＋B＝5，∴A＝2，B＝7.函数的周期T＝2(7－3)＝8，由T＝2πω，得ω＝2πT＝π4.∵x＝3时，函数有最大值．∴3ω＋φ＝π2＋2kπ，∴φ＝－π4＋2kπ.综上，f(x)的解析式为f(x)＝2sin(π4x－π4)＋7(1≤x≤12，x∈N*)．第一章三角函数4.如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；(2)这段曲线的函数解析式为________________________________.5030y＝10sin(π6x＋π6)＋40，x∈[8,14]y＝10sin(π6x＋π6)＋40，x∈[8,14]第一章三角函数[解析]由图知，b＝40，A＝10，ω＝2πT＝2π2·14－8＝π6，∴y＝10sin(π6x＋φ)＋40，又x＝8时，y＝30，∴sin(4π3＋φ)＝－1，∴φ＝π6.[解析]由图知，b＝40，A＝10，ω＝2πT＝2π2·14－8＝π6，∴y＝10sin(π6x＋φ)＋40，又x＝8时，y＝30，∴sin(4π3＋φ)＝－1，∴φ＝π6.课时作业学案第一章三角函数3谢谢观看数学必修④·人教A版新课标导学